1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale

Il modo di scrivere i numeri dei romani risultava piuttosto complicato sia nella scrittura dei numeri sia nell’esecuzione dei calcoli. Il sistema moderno di scrittura dei numeri fa uso dei soli dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti cifre. Un numero può essere rappresentato da una sequenza ordinata di cifre, anche ripetute.

Per rappresentare il numero dieci che segue il 9 non si fa uso di un simbolo diverso ma si scrivono due cifre: il simbolo 1 a sinistra e il simbolo 0 a destra. Per chiarire questo metodo utilizziamo un pallottoliere con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti: un’asta vuota rappresenta la cifra zero, aggiungendo dischetti possiamo arrivare alla cifra 9 e così abbiamo riempito tutta un’asta. Se vogliamo aggiungere ancora un dischetto, svuotiamo tutta l’asta e ne mettiamo uno sull’asta più a sinistra. Il numero successore del nove viene così rappresentato da un uno seguito da uno zero.

I dischetti sull’ultima asta rappresentano il numero 9; un dischetto sulla penultima rappresenta il numero dieci: 10. Un dischetto sulla terzultima rappresentare il numero cento: 100. In questo modo possiamo rappresentare tutti i numeri.

Le potenze di 10 sono importanti nel sistema decimale poiché rappresentano il peso di ciascuna cifra di cui è composto il numero. Nel pallottoliere ciascuna asta indica una potenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo peso e sommando i valori ottenuti.

Tre dischetti nella terza asta rappresentano tre centinaia, cioè il numero \(~3 \cdot 10^2=300\). Il numero \(479\) significa quattro centinaia più sette decine più nove unità: \(~4 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10 + 9\).

Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è:

1.4.1 Rappresentazione geometrica

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0 con l’origine della semiretta, i numeri aumentano allontanandosi dall’origine e si deve scegliere un segmento che rappresenti un passo unitario. Partendo dall’origine, a ogni passo si va al numero successivo.

Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in volta al numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, etc. Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente. L’insieme \(\N \) ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo.