La divisione esatta nei numeri naturali, \(m\) e \(n\), non è sempre possibile: si può fare solo se \(m\) è multiplo di \(n\). Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con il resto. La divisione con resto è una funzione che dà due risultati: il quoziente e il resto. Questa è una funzione che ha due argomenti e per risultato una coppia ordinata di numeri.
Definizione 1.10:
Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), con \(n\neq ~0\), esistono due numeri \(q\) e \(r\) con \(0 \leqslant r < n\) tali che: \[m = n \cdot q + r\] \(q\) si dice quoziente e \(r\) si dice resto della divisione.
Esempio 1.11:
Calcola: \(25:7\)
Esempio 1.12:
Alcune semplici divisioni con il resto:
\(0 : 2 \rightarrow \) q = 0 e r = 0
\(3 : 0 \rightarrow \) Non Definita
\(2 : 7 \rightarrow \) q = 0 e r = 2
\(7 : 2 \rightarrow \) q = 3 e r = 1
Un’operazione che dà due risultati a volte è scomoda quindi i matematici hanno ricavato, dalla divisione con resto, due nuove operazioni: la divisione intera e il resto modulo o modulo.
Definizione 1.11:
Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), con \(n \neq 0\), la divisione intera dà come risultato il più grande numero intero \(q\) tale che: \[q \cdot n \leqslant m\] \(q\) si dice quoziente intero della divisione.
Esempio 1.13:
Alcune semplici divisioni intere:
\(0\, \divint 5 = 0\)
\(9\, \divint 2 = 4\)
\(3\, \divint 5 = 0\)
\(3\, \divint 0 = \text {Non Definita}\)
Definizione 1.12:
Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), con \(n\neq ~0\), l’operazione che restituisce il resto della divisione intera tra \(m\) e \(n\) si chiama modulo di \(m\) rispetto a \(n\) e viene indicata con \(m\, \Mod {n}\).
Esempio 1.14:
Alcuni esempi di resto delle divisioni:
\(3\, \Mod 0 = \text { non def.}\)
\(0\, \Mod 5 = 0\)
\(9\, \Mod 5 = 4\)
\(10\, \Mod 5 = 0\)
\(3\, \Mod 5 = 3\)
\(11\, \Mod 5 = 1\)
Ripassiamo l’algoritmo della divisione tra numeri naturali; questo algoritmo risulterà particolarmente utile nel seguito.
Vediamo assieme i vari passi dell’algoritmo:
scrivo 2 sotto al 7,
moltiplico 2 per 7 e scrivo il suo opposto sotto alle centinaia,
trovo il resto delle centinaia (\(15-14=1\)) e lo scrivo sotto;
In definitiva, nel 1523 il 7 è contenuto 217 volte con il resto di 4.:
\(1523:7 \quad \srarrow \quad Q=217 \text { e } R=4\) Infatti: \(217 \cdot 7 + 4 = 1519 + 4 = 1523\) e: \(4 \leqslant 7\)
Alcuni altri esempi:
Definizione 1.13:
Il numero \(n\) si dice divisore di \(m\), e \(m\) multiplo di \(n\), se il resto della divisione intera è zero: \[m\, \Mod n = 0\]
Prima di proseguire, disegna nel quaderno la seguente tabella e completala.
Nella prima colonna scrivi i numeri fino al 50, nella seconda scrivi tutti i divisori di quel numero ordinati dal minore al maggiore, nella terza scrivi quanti sono i divisori.
numero | divisori |
numero di divisori |
0 | tutti i numeri naturali |
\(\infty \) |
1 | 1 |
1 |
2 | 1, 2 |
2 |
3 | 1, 3 | 2 |
4 | 1, 2, 4 | 3 |
5 | 1, 5 |
2 |
… |
|
|
50 |
|
|
Guardando la tabella dei divisori si può osservare che ogni numero è divisibile per 1 e per se stesso. Poi può avere altri divisori, questi altri divisori si chiamano divisori propri.
Definizione 1.14:
Chiamiamo divisore proprio di un numero un divisore diverso dal numero stesso e dall’unità.
Per quanto riguarda il numero dei divisori possiamo anche osservare che due numeri sono particolari:
zero è divisibile per ogni numero naturale perché quando dividiamo 0 per un qualunque numero otteniamo come resto 0;
Dopo queste osservazioni possiamo dare le seguenti definizioni:
Osservazioni 1.8:
2 è l’unico numero primo pari.
Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primo compreso tra 2 e la radice quadrata del numero.
I numeri con un numero dispari di divisori, sono numeri quadrati.
Ma quanti sono i numeri primi? La risposta a questa domanda venne data da Euclide con il seguente teorema che porta il suo nome:
Teorema 1.2 (di Euclide):
I numeri primi sono infiniti.
La dimostrazione è ingegnosa ed è semplice: cercala e presentala ai tuoi compagni.
Per vedere se un numero divide un altro basta eseguire la divisione e osservare se si ottiene un resto uguale a zero. Ma questo non sempre è comodo da fare, i matematici hanno scoperto dei trucchi per capire se un numero divide un altro senza dover eseguire la divisione: sono i criteri di divisibilità. Di seguito sono riportati i criteri relativi ai primi numeri naturali.
0:
Nessun numero è divisibile per 0.
1:
Tutti i numeri sono divisibili per 1.
2:
0, 2, 4, 6, 8 sono divisibili per 2 e un numero è divisibile per 2 se e solo se il numero formato dalla sua ultima cifra è divisibile per 2.
3:
0, 3, 6, 9 sono divisibili per 3 e un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3.
4:
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …, 96, sono divisibili per 4 e un numero è divisibile per 4 se e solo se il numero formato dalle sue ultime 2 cifre, è divisibile per 4.
5:
0, 5 sono divisibili per 5 e un numero è divisibile per 5 se e solo se il numero formato dalla sua ultima cifra è divisibile per 5.
6:
Un numero è divisibile per 6 se è divisibile per 2 e per 3.
7:
0, 7 sono divisibili per 7 e un numero maggiore di 10 è divisibile per 7
se la differenza, in valore assoluto, fra il numero ottenuto togliendo la
cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è divisibile per 7.
Il numero 273 è divisibile per 7, infatti \( \valass {27 -2 \cdot 3} = 21\) che è multiplo di 7.
Il numero 887 non è divisibile per 7, infatti \(\valass {88 -2 \cdot 7}= 74\) che non è divisibile per 7.
8:
0, 8, 16, 24, 32, …, 200, …, 992, sono divisibili per 8 e un numero è divisibile per 8 se e solo se il numero formato dalle sue ultime 3 cifre, è divisibile per 8.
9:
0, 9 sono divisibili per 9, e un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è un numero è divisibile per 9.
10:
0 è divisibile per 10 e un numero è divisibile per 10 se e solo se il numero formato dalla sua ultima cifra è divisibile per 10.
11:
0 è divisibile per 11 e un numero è divisibile per 11 se e solo se la
differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la
somma delle cifre di posto dispari è un numero divisibile per 11.
Il numero 8261 è divisibile per 11, infatti \(\valass {(8+6)-(2+1)} = 11\);
Il numero 887 non è divisibile per 11, infatti \(\valass {8-(8+7)}=~7\).
12:
Un numero è divisibile per 12 se è divisibile per 3 e per 4.
un numero qualunque:
Un numero \(a\) è divisibile per un numero \(d\) se e solo se \(a - n \cdot d\) è divisibile per \(d\)
(dove \(n\) è un numero naturale qualsiasi).
Il numero 253 è divisibile per 23 perché \(253 - 10 \cdot 23 = 253 - 230 = 23\) che è divisibile per 23.
Il numero 1894 è divisibile per 17 se e solo se lo è anche \(1894 - 100 \cdot 17 = 1894 - 1700 = 194\) che è divisibile
per 17 se e solo se lo è anche \(194 - 10 \cdot 17 = 194 - 170 = 24\). Poiché 24 non è divisibile per 17 non lo
sarà neppure 1894.