1.3 Cosa sono

I numeri naturali sono alla base dell’aritmetica, tutti gli altri numeri si possono costruire a partire da questi. Tutti noi abbiamo una idea di cosa siano i numeri naturali e, in generale, in questo testo ci riferiremo a questa idea ingenua di numeri naturali.

Ci sono diversi modi per definirli a partire da concetti più primitivi come, ad esempio, gli insiemi o da assiomi. Di seguito sono presentati gli assiomi di Peano2 che permettono di definire i numeri naturali a partire da due concetti primitivi e da 5 assiomi, cioè affermazioni su cui siamo d’accordo.

I concetti primitivi per definire i numeri naturali sono:

Lo zero è il numero che serve per contare gli elementi di un gruppo con il minore numero di oggetti possibile: un gruppo vuoto.

Il successore di un numero naturale \(n\) è quel numero che viene subito dopo \(n\) e che rappresenta il numero di oggetti di un gruppo quando se ne aggiunge uno.

Le seguenti affermazioni possono quindi individuare i numeri naturali:

1.
Zero è un numero naturale.
2.
Per ogni numero naturale, anche il suo successore è un numero naturale.
3.
Numeri diversi hanno successori diversi.
4.
Lo zero non è successore di nessun numero naturale.
5.
Se una proprietà vale per lo zero e, valendo per un numero naturale qualsiasi, vale anche per il suo successore, allora vale per ogni numero naturale.

In pratica i numeri naturali sono la sequenza:

zero, uno, due, tre, …, centoventitre, centoventiquattro, …

Un modo comodo per esprimere qualunque numero naturale è usare dei segni appositi, le cifre, e un sistema per rappresentarli:

0, 1, 2, 3, …, 123, 124, …

2Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano