Definizione 1.17:
Il massimo comune divisore di numeri naturali \(a\) e \(b\) è il più grande tra tutti i divisori comuni ad \(a\) e \(b\) e si indica con \(\mcd (a,b)\).
Esempio 1.17:
Applicando la definizione, calcola il \(\mcd (18,~12) = 6\).
I divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
I divisori di 12: 1, 2, 4, 6, 12 I divisori comuni: 1, 2, 6,
il più grande è 6, quindi: \(\mcd (18,~12) = 6\).
Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente procedura:
Procedura 1.5:
Calcolo del \(\mcd \) di due o più numeri naturali:
Esempio 1.18:
Calcolare: \(\mcd (60,~48,~36)\).
Si scompongono in fattori i numeri:
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5; \quad 48 = 2^4 \cdot 3; \quad 36 = 2^2 \cdot 3^2\)
Fattori comuni con esponente minimo: \(2^2\) e \(3\)
Massimo comune divisore: \(\mcd (60,~48,~36)=~2^2 \cdot 3 = 12\).
Esempio 1.19:
Calcolare: \(\mcd (60,~120,~90)\).
Si scompongono in fattori i numeri:
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5; \quad 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5; \quad 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\)
Fattori comuni con esponente minimo: 2, 3, 5:
Massimo comune divisore: \(\mcd (60,~120,~90)=~2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\)
Definizione 1.18:
Esempio 1.20:
Numeri primi tra loro:
12 e 25 sono primi tra loro. Infatti il \(\mcd (12,~25)=1\) dato che nelle loro scomposizioni in fattori non si hanno fattori comuni: \(12 =2^2\cdot 3\) e \(25=5^2\);
11 e 19 sono primi tra loro infatti il \(\mcd (11,~19)=1\) dato che 11 e 19 sono numeri primi;
12 e 15 non sono primi tra di loro in quanto hanno 3 come divisore comune.
Definizione 1.19:
Il minimo comune multiplo di due numeri naturali \(a\) e \(b\) è il più piccolo tra tutti i multipli comuni non nulli dei due numeri e si indica con \(\mcm (a,~b)\).
Esempio 1.21:
Applicando la definizione, calcola il \(\mcm (6,~15)\).
I primi multipli di 6: \(0,~6,~12,~18,~24,~\underline {30},~36,~42,~48,~54,~60,~66,~\dots \)
I primi multipli di 15: \(0,~15,~\underline {30},~45,~60,~75,~90,~\dots \)
I multipli comuni non nulli: \(~30,~60,~90,~\dots \)
il più piccolo è 30, quindi: \(\mcm (6,~15) = 30\).
Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente procedura:
Procedura 1.6:
Calcolo del \(\mcm \) di due o più numeri naturali:
Esempio 1.22:
Calcolare: \(\mcm (60,~48,~36)\).
Si scompongono in fattori i numeri:
\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5; \qquad 48 = 2^4 \cdot 3; \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2\)
Fattori comuni e non comuni con esponente massimo: \(2^3,\quad 3^2, \quad 5\).
Minimo comune multiplo: \(\mcm (60,~48,~36)=~2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720\).
Esempio 1.23:
Calcolare il \(\mcm (20,~24,~450)\).
Si scompongono in fattori i numeri: \(20=2^2\cdot 5\); \(24=2^3\cdot 3\); \(450 =~2\cdot 3^2\cdot 5^2\).
Fattori comuni e non comuni con esponente massimo: \(2^3,~3^2,~5^ 2\).
Minimo comune multiplo: \(\mcm (20,~24,~450) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^ 2 = 1800\).
Esempio 1.24:
Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di \(315\munit {cm}\) per \(435\munit {cm}\) con mattonelle quadrate le più grandi possibile, senza tagliarle. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?
Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune.
La soluzione del problema è data quindi dal \(\mcd (315,~435)=3 \cdot 5=15\). Le mattonelle devono avere il lato di \(15\munit {cm}\). Ci vogliono \(435:15=29\) mattonelle per ricoprire il lato di \(435\munit {cm}\) e \(315:15=21\) mattonelle per ricoprire il lato da \(315\munit {cm}\). In tutto occorrono \(29 \cdot 21 = 609\) mattonelle.