1.8 Espressioni con un buco

A volte potrà succedere che, nell’espressione, manchi un numero. Conoscendo il risultato possiamo trovare il numero mancante.

1.8.1 Soluzione con grafo ad albero

Procedura 1.3:

Per trovare l’operando mancante usando il grafo ad albero:

1.
costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili;
2.
con un colore diverso scriviamo il risultato nella radice e completiamo il grafo risalendo fino al numero mancante.

Esempio 1.7:

Nella seguente espressione manca un esponente:

\([4 \cdot 5 + 16 : 2 - (13 - 2^{\dots }) \cdot 2] : 2 = 9\)

Costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili. Usando un colore diverso, scriviamo nella radice il risultato dell’espressione.

Ora poniamo attenzione al nodo vuoto che precede il risultato, il nodo contrassegnato dalla stella. Dobbiamo trovare il numero che diviso per 2 dia come risultato 9. È facile: il numero cercato è 18. Scriviamo allora 18 in questo nodo e poniamo l’attenzione a quello che lo precede.

Ora dobbiamo trovare quel numero che tolto da 28 dia come risultato 18. Anche questo è facile da trovare: è 10.

Lo scriviamo e ci spostiamo sul nodo precedente. Procedendo in questo modo possiamo risalire fino al dato mancante.

Il numero che moltiplicato per \(2\) dà \(10\) è \(5\).

Partendo da \(13\) per ottenere \(5\) devo togliere \(8\).

Infine, l’esponente da dare a \(2\) per ottenere \(8\) è \(3\).

Anche le espressioni con buco che vengono risolte usando le proprietà delle potenze possono essere risolte in modo analogo.

Esempio 1.8:

Se c’è un “buco” in una espressione da risolvere con le proprietà delle potenze, si procede allo stesso modo:

\((3^4)^3 \cdot 3^{\dots } : (3^3)^5 -2^3 \cdot 2 \cdot (20 -3 \cdot 5) = 1\)

Costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili. Rimangono vuoti tutti i nodi che collegano la radice all’elemento mancante. Usando un colore diverso, a partire dalla radice, completiamo il grafo. Scriviamo nella radice il risultato dell’espressione, e poniamo attenzione al nodo vuoto che lo precede.

  • questo numero meno 80 deve dare come risultato 1: il numero cercato è 81;

  • nel nodo precedente: qui ci va una potenza che deve dare come risultato 81, potrebbe essere \(9^2\) o \(3^4\), ma dato che sopra posso usare le proprietà delle potenze con base 3, conviene usare \(3^4\);

  • nel nodo precedente: questo esponente meno 15 deve dare come risultato 4, l’esponente qui deve essere 19;

  • e infine: 12 sommato a questo esponente deve dare come risultato 19: il valore mancante è quindi: 7.

1.8.2 Soluzione sequenziale

Procedura 1.4:

Per trovare l’operando mancante usando il metodo sequenziale:

1.
risolviamo l’espressione lasciando il buco ogni volta che dobbiamo eseguire un’operazione tra un numero e un buco;
2.
con un colore diverso scriviamo il risultato dopo l’ultima operazione e risaliamo dalla soluzione al dato mancante.

Esempio 1.9:

\(\left [ 4 \cdot 5 + 16 : 2 - \left (13 - 2^{\dots } \right ) \cdot 2 \right ] : 2 = 9\)

Sottolineiamo le operazioni che dobbiamo eseguire, sostituiamo le operazioni sottolineate con il loro risultato o con un buco, poi risaliamo riempiendo i buchi:

  • il numero che
    diviso per 2 dà 9 è 18;

  • il numero che
    tolto da 28 dà 18 è 10;

  • il numero che
    moltiplicato per 2 dà 10 è 5;

  • il numero che
    tolto da 13 dà 5 è 8;

  • l’esponente
    da dare a 2 per ottenere 8 è 3.

\(\left [ \underline {4 \cdot 5} + \underline {16 : 2} - \left (13 - \underline {2^{\dots }} \right ) \cdot 2 \right ] : 2 = 9\)

\(\left [ \underline {20 + 8} - \underline {\left (13 - {\dots } \right )} \cdot 2 \right ] : 2 = 9\)

\(\left [ 28 - \underline {{\dots } \cdot 2} \right ] : 2 = 9\)

\(\underline {\left [ 28 - {\dots } \right ]} : 2 = 9\)

\(\underline {{\dots } : 2} = 9\)

Esempio 1.10:

\(\left (3^4 \right )^3 \cdot 3^{\dots } : \left (3^3 \right )^5 - 2^{3} \cdot 2 \cdot \left ( 20 - 3 \cdot 5 \right ) = 1\)

Qui possiamo applicare le proprietà delle potenze:

\(\underline {\left (3^4 \right )^3} \cdot 3^{\dots } : \underline {\left (3^3 \right )^5} - \underline {2^{3} \cdot 2} \cdot \left ( 20 - \underline {3 \cdot 5} \right ) =\)

\(\underline {3^{12} \cdot 3^{\dots }} : 3^{15} - \underline {2^{4}} \cdot \underline {\left ( 20 - 15 \right )} =\)

\(\underline {3^{\dots } : 3^{15}} - \underline {16 \cdot 5} =\)

\(\underline {3^{\dots }} - 80 =\)

\(\underline {{\dots } - 80} = 1\)

La risalita non dovrebbe creare problemi.