1.6 Operazioni con i numeri naturali

Possiamo vedere le operazioni matematiche come dei meccanismi, delle regole, che associano ad alcuni oggetti matematici, detti operandi, un altro oggetto matematico, che è unico, il risultato.

Di seguito riprendiamo rapidamente le prime cinque operazioni aritmetiche nei numeri naturali.

1.6.1 Funzioni

Prima di affrontare le operazioni introduciamo uno dei concetti più importanti nella matematica moderna: il concetto di funzione.

Esempi 1.1:

Partiamo da alcuni esempi.

Definizione 1.1:

Chiamiamo funzione un qualunque procedimento che, a partire da alcuni oggetti che sono gli argomenti, ne produce al massimo uno che è il risultato della funzione.

Anche le operazioni aritmetiche possono essere viste come particolari funzioni. Sono delle funzioni binarie perché ricevono due argomenti (due numeri) e producono al massimo un risultato (un numero).

Data l’importanza delle funzioni e il loro uso in molti contesti diversi, vengono anche usati molti modi diversi per rappresentarle. Di seguito ne vediamo alcuni, relativi al caso dell’addizione. \[risultato = funzione \coppia {parametro_1}{parametro_2}\] \[somma: \coppia {addendo_1}{addendo_2} \mapsto addendo_1 + addendo_2\]

Possono essere usate anche delle rappresentazioni grafiche:

Funzione rappresentata con grafi

Rappresentazioni dell’espressione:

\(7 + 5 = 12\)

Una funzione può anche essere definita in un linguaggio di programmazione (nel caso seguente usiamo Python):
_________________________________________________________________1

def add(parametro_1, parametro_2): _________________________________________________________________ 2

return parametro_1 + parametro_2 Interpretazione di queste due righe di programma:

“add”

è il nome della funzione;

“parametro_1” e “parametro_2”

sono i parametri della funzione;

il risultato dell’espressione che segue “return”

è il risultato della funzione;

“def” e “return”

sono delle parole riservate del linguaggio Python.

Il risultato della funzione può essere visualizzato con la seguente istruzione:
_________________________________________________________________1

print(add(5, 7))

“print”

è un comando per visualizzare qualcosa sullo schermo, in questo caso visualizza il risultato della funzione “add”;

“5” e “7”

sono gli argomenti della funzione “add”.

La funzione “add” ha due parametri (“parametro_1” e “parametro_2”) e, per eseguirla, dobbiamo passarle due argomenti (“5” e “7”).

Osservazioni 1.1:

1.6.2 Proprietà delle operazioni

Prima ancora di affrontare le operazioni aritmetiche con i numeri naturali, vediamo le proprietà delle operazioni in generale. In generale vuol dire che ora non stiamo a precisare né di quale insieme numerico parliamo, né di quale operazione. Quindi useremo delle lettere per indicare operandi e risultato mentre, per l’operazione, useremo un simbolo diverso da quelli delle quattro operazioni. Un’operazione che indicheremo con il simbolo \(\star \):

1.
si dice legge di composizione interna se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi;
2.
gode della proprietà associativa se per ogni \(a\), \(b\) e \(c\): \((a \star b) \star c = a \star (b \star c)\);
3.
possiede un elemento neutro se esiste un elemento \(u\) tale che per ogni \(a\): \(a \star u = u \star a = a\)
4.
possiede un elemento assorbente se esiste un elemento \(z\) tale che per ogni \(a\): \(a \star z = z \star a = z\)
5.
possiede elemento inverso se per ogni elemento \(a\) dell’insieme, esiste un elemento \(a'\) dell’insieme per cui \(a \star a' = a' \star a = u\) dove \(u\) è l’elemento neutro;
6.
gode della proprietà commutativa se per ogni \(a\) e \(b\): \(a \star b = b \star a\).

Vediamo ora alcune operazioni con i numeri naturali, le loro proprietà e le strutture algebriche sui naturali.

1.6.3 Addizione in \(\N : \quad \coppia {\N }{+}\)

L’addizione è collegata all’operazione concreta di aggiungere gli elementi di un gruppo di oggetti agli elementi di un altro gruppo per poi considerarli riuniti in un unico gruppo.

Definizione 1.2 (Addizione):

Dati due numeri naturali \(n\) e \(m\), l’addizione associa quel numero \(s\), che si ottiene partendo da \(n\) e procedendo verso i successori \(m\) volte. Si scrive \(n+m=s\).

Gli operandi dell’addizione si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.

Ad esempio: sommare 5 a 3 significa partire da 3 e spostarsi verso il successore per 5 volte.

\[3+5=8\]

Funzione addizione

L’addizione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

Proprietà dell’addizione

Per come è definita, e dato che il successore di un numero naturale è un numero naturale, la somma di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che l’addizione nei numeri naturali presenta le seguenti proprietà:

Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\coppia {\N }{+}\) viene chiamata monoide commutativo (o abeliano3)

1.6.4 Sottrazione in \(\N : \quad \coppia {\N }{-}\)

La sottrazione è collegata all’operazione concreta di togliere degli oggetti da un gruppo di oggetti.

Definizione 1.3 (Sottrazione):

Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), la sottrazione associa quel numero naturale \(d\), se esiste, che aggiunto al secondo (\(n\)) dà come somma il primo (\(m\)).

Si scrive \(m - n = d\).

Il primo operando si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza.

Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.

\[7-5=2 \stext { perché } 2+5=7\]

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.

Se consideriamo solo numeri naturali non è sempre possibile trovare la differenza tra due numeri. Ad esempio, la differenza tra 5 e 7 non è un numero naturale, infatti se partendo dal 5 andiamo indietro di 7 posizioni usciamo dalla semiretta dei numeri naturali.

Questo corrisponde al fatto che se ho solo 5 oggetti non ne posso togliere 7!

Si può osservare allora che in \(\N \) la sottrazione \(a - b\) è possibile solo se \(a \geqslant b\).

Funzione sottrazione

Nei naturali la sottrazione è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale solo se il minuendo non è minore del sottraendo:

Osservazioni 1.2:

Proprietà della sottrazione

La sottrazione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali, dato che alcune sottrazioni non danno come risultato un numero naturale.

Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti \(a - 0 = a\), ma in generale non si può fare \(0 - a\).

Una proprietà interessante della sottrazione, e molto utile nei calcoli, è:

Teorema 1.1 (Proprietà invariantiva della sottrazione):

aggiungendo o togliendo ad entrambi i termini di una sottrazione la stessa quantità, \(c\), la differenza non cambia. \[a - b = (a - c) - (b - c) = (a + c) - (b + c)\]

1.6.5 Moltiplicazione in \(\N : \quad \coppia {\N }{\times }\)

La moltiplicazione è legata all’azione di contare oggetti disposti in uno schieramento rettangolare.

Definizione 1.4 (Moltiplicazione):

Dati due numeri naturali \(m\), \(n\), l’operazione di moltiplicazione associa il numero \(p\) che si ottiene aggiungendo a 0 \(n\) addendi uguali a \(m\):

Gli operandi della moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto.

Ad esempio: moltiplicare 3 per 4 volte significa partire da 0 e aggiungere 3 per 4 volte.

\(3 \cdot 4 = 0 \underbrace {+ 3 + 3 + 3 + 3}_{\text {4 volte}} = 12\)

Funzione moltiplicazione

La moltiplicazione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

Proprietà della moltiplicazione

Dato che per eseguire una moltiplicazione ripeto delle addizioni, anche il prodotto di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che la moltiplicazione è una legge di composizione interna ai naturali e presenta le seguenti proprietà:

Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\coppia {\N }{\times }\) viene chiamata monoide commutativo (o abeliano).

Un’altra importante proprietà che utilizzeremo spesso anche in seguito è:

Postulato 1.2 (Principio di annullamento del prodotto):

il prodotto di due o più numeri naturali si annulla se e solo se almeno uno dei fattori è nullo. \[ a \cdot b = 0 \sLRarrow a=0 \sstext {oppure} b = 0\]

Questa legge dice che se il risultato di una moltiplicazione è zero di sicuro almeno uno dei fattori deve essere zero. Attenzione: questa proprietà non vale per tutti gli insiemi numerici in cui è definita la moltiplicazione.

1.6.6 Divisione in \(\N : \quad \coppia {\N }{:}\)

La divisione è collegata all’operazione concreta di dividere una certa quantità di oggetti in gruppi con lo stesso numero di oggetti.

Definizione 1.5:

Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), con \(n \neq 0\), la divisione associa quel numero naturale \(q\), se esiste, che moltiplicato per \(n\) dà come prodotto \(m\).

Si scrive \(m : n = q\).

Il primo operando si chiama dividendo e il secondo divisore, il risultato si dice quoziente esatto.

Ad esempio: dividere 12 per 4 significa trovare quante volte il numero 4 è contenuto nel numero 12.4

\(12 : 4 = 3\) perché \(3 \cdot 4 = 12\)

Non sempre si può effettuare la divisione nei numeri naturali ad esempio: \(10 : 4\) non è un numero naturale. Se esiste il quoziente esatto tra i numeri \(m\) e \(n\), si dice che:

Esempio 1.2:

Alcuni esempi:

1.
20 è divisibile per 4 perché \(20:4=5\);  4 è un divisore di 20; 20 è un multiplo di 4.
2.
7 è divisore di 35 perché \(35:7=5\);  35 è divisibile per 7; 35 è un multiplo di 7.
3.
6 è multiplo di 3 perché \(6 = 2 \cdot 3\); 6 è divisibile per 3; 3 è un divisore di 6.
4.
5 non è multiplo di 3; non esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 dia 5.

Osservazioni 1.3 (Divisione per 0):

La divisione per zero non è definita.

Funzione divisione

La divisione è una funzione che ha come argomento una coppia ordinata di numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

Osservazioni 1.4:

Proprietà della divisione

Dato che non dà sempre un risultato, la divisione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali.

Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti \(a : 1 = a\), ma in generale non si può fare \(1 : a\).

L’unica proprietà interessante della divisione è la proprietà

Definizione 1.6 (Proprietà invariantiva della divisione):

Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una divisione per la stessa quantità, diversa da zero, il quoziente non cambiaa.

1.6.7 Proprietà distributiva

Oltre alle proprietà valide per le singole operazioni, ce n’è una che riguarda due operazioni contemporaneamente, è la proprietà distributiva.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

Rispetto all’addizione Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.

\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)

\((a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)

\(3 \cdot (2+4) = 3 \cdot 6 = 18; \quad 3 \cdot (2+4) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4 = 6 + 12 = 18\)

\((3+5) \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32; \quad (3+5) \cdot 4 = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32\)

Rispetto alla sottrazione In maniera analoga:

\(a\cdot (b-c) = a\cdot b - a\cdot c\)

\((a-b)\cdot c = a\cdot c - b\cdot c\)

\(5 \cdot (7 - 4) = 5 \cdot 3 = 15; \quad 5 \cdot (7 - 4) = 5 \cdot 7 - 5 \cdot 4 = 35 - 20 = 15\)

\((9 - 4) \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10; \quad (9 - 4) \cdot 2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 18 - 8 = 10\)

Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\terna {\N }{+}{\times }\) viene chiamata semianello commutativo (o abeliano).

Proprietà distributiva della divisione

Rispetto all’addizione Solo se le somme sono a sinistra:

\((a+b) : c=a : c + b : c\)
\((20 + 10) : 5 = 30 : 5 = 6\)
\((20 + 10) : 5 = 20 : 5 + 10 : 5 = 4 + 2 = 6\)

Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra: \(120 : (3 + 5)\). Infatti eseguendo prima l’operazione tra parentesi si ottiene correttamente \(120 : 8 = 15\). Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene \(120 : 3 + 120 : 5 = 40 + 24 = 64\). Il risultato corretto è solo il primo.

Rispetto alla sottrazione Solo se la sottrazione è a sinistra:

\((a-b):c=a:c-b:c\)
\((24-18) : 6 = 6 : 6 = 1\)
\((24-18) : 6 = 24 : 6 - 18 : 6 = 4 - 3 = 1\)

Se, però, la sottrazione è a destra:
\(120 : (5 - 3) = 120 : 2 = 60 ~\neq ~ 120 : 5 - 120 : 3 = 24 - 40\)

Osservazione 1.5:

Nonostante la grande utilità dei numeri naturali e il fascino dei problemi presenti nei naturali che non sono ancora risolti, una struttura a semianello è piuttosto debole: non permette di risolvere neppure equazioni del tipo \(ax + b = 0\).

1.6.8 Potenza in \(\N : \quad \coppia {\N }{\uparrow }\)

La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione che ha tutti i fattori uguali.

Definizione 1.7 (Potenza):

Dati due numeri naturali  \(b\)  e  \(e\),  non entrambi nulli, l’operazione di potenza associa un terzo numero \(p\) che si ottiene moltiplicando 1 per \(e\) fattori uguali a \(b\):

Gli operandi si chiamano base e esponente mentre il risultato si chiamapotenza.

Funzione potenza

La potenza è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:

Proprietà delle potenze

Nei numeri naturali, la potenza è una legge di composizione interna ma non è né associativa, né commutativa. Presenta comunque cinque proprietà importanti perché verranno utilizzate all’interno di altri argomenti che incontreremo in seguito come, ad esempio, nel calcolo letterale e nello studio di funzioni esponenziali e logaritmiche.

1. Il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

\[\boxed {a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}}\]
\[7^5 \cdot 7^6 \cdot 7^3 = 7^{5 + 6 + 3} = 7^{14}\]
infatti:
\[a^m \cdot a^n = (1 \underbrace {\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text { volte}}) \cdot (1 \underbrace {\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text { volte}}) \cdot (1 \underbrace {\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{p \text { volte}}) = (1 \underbrace {\cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n+p\text { volte}}) = a^{m+n+p}\]

2. Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

\[\boxed {a^m : a^n = a^{m-n}}\]
\[4^5 : 4^3 = 4^{5 - 3} = 4^2\]
infatti:
\[ a^m: a^n = \frac {a^m}{a^n}= \frac {1 \overbrace {\cdot \cancel {a} \cdot \cancel {a} \cdot \cancel {a} \cdot \ldots \cdot a}^{m \text { volte}}} {1 \underbrace {\cdot \cancel {a} \cdot \cancel {a} \cdot \ldots \cdot \cancel {a}}_{n \text { volte}}}= a^{m-n} \]

3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

\[\boxed {(a^m)^n=a^{m \cdot n}}\]
\[(6^2)^5=6^{2\cdot 5}=6^{10}\]
infatti:
\[(a^m)^n = 1 \overbrace {\cdot a^m\cdot \ldots \cdot a^m}^{n\text { volte}}=\overbrace {(1 \underbrace {\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m\text { volte}})\cdot (1 \underbrace {\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m\text { volte}})\cdot \ldots \cdot (1 \underbrace {\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m\text { volte}})}^{n\text { volte}}=a^{m\cdot n}\]

4. Il prodotto di più potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

\[\boxed {a^n \cdot b^n \cdot c^n = (a \cdot b \cdot c)^n}\]
\[2^8 \cdot 5^8 \cdot 3^8 = (2 \cdot 5 \cdot 3)^8\]
infatti:
\begin {align*} a^n \cdot b^n &= (1 \underbrace {\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text { volte}}) \cdot (1 \underbrace {\cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n\text { volte}}) \cdot (1 \underbrace {\cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{n\text { volte}}) =\\ &= 1 \underbrace {\cdot (a \cdot b \cdot c) \cdot (a \cdot b \cdot c) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b \cdot c)}_{n\text { volte}}= (a \cdot b \cdot c)^n \end {align*}

5. Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

\[\boxed {a^n:b^n=(a:b)^n}\]
\[6^4:3^4=(6:3)^4\]
infatti:
\[a^n : b^n = \frac {a^n}{b^n} = \frac {1 \overbrace {\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}^{n\text { volte}}} {1 \underbrace {\cdot b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n\text { volte}}}= 1 \underbrace {\cdot \frac {a}{b}\cdot \frac {a}{b}\cdot \ldots \cdot \frac {a}{b}}_{n\text { volte}}= \tonda {\frac {a}{b}}^n\]

Si può vedere come i casi particolari delle potenze con esponente uguale a 0 e uguale a 1 siano in accordo con le proprietà delle potenze.

\begin {align*} &a^0=a^{n-n}=a^n:a^n=1\\ es.:\quad &4^0 = 4^{3-3} = 4^3 : 4^3 = 64 : 64 = 1 \end {align*}
\begin {align*} &a^1=a^{n-(n-1)} = a^n : a^{(n-1)} = a\\ es.:\quad &8^1 = 8^{4-3} = \frac {\cancel {8} \cdot \cancel {8} \cdot \cancel {8} \cdot 8} {\cancel {8} \cdot \cancel {8} \cdot \cancel {8}} = 8 \end {align*}

Osservazione 1.6:

Alla potenza \(0^0\) non si assegna alcun valore perché applicando la definizione di \(a^0\) si dovrebbe ottenere 1; applicando la definizione \(0^a\) si dovrebbe ottenere 0. Nonostante ciò, in molti linguaggi di programmazione \(0^0\) dà per risultato 1.

1.6.9 Operazioni inverse

L’operazione inversa di una certa operazione è l’operazione che permette di calcolare uno degli operandi conoscendo l’altro operando e il risultato. Poiché le operazioni aritmetiche sono funzioni binarie, dobbiamo considerare 2 operazioni inverse, una per trovare il primo operando e una per trovare il secondo.

Esempio 1.3:

Completa le seguenti uguaglianze.

Operazione Op. inversa 1 Op. inversa 2




1. \(5 + 3 = 8\) \(5 = 8 ~\dots ~ 3\) \(3 = 8 ~\dots ~ 5\)
2. \(9 - 2 = 7\) \(9 = 7 ~\dots ~ 2\) \(2 = 9 ~\dots ~ 7\)
3. \(3 \cdot 2 = 6\) \(3 = 6 ~\dots ~ 2\) \(2 = 6 ~\dots ~ 3\)
4. \(8 : 4 = 2\) \(8 = 2 ~\dots ~ 4\) \(4 = 8 ~\dots ~ 2\)
5. \(3 ^4 = 81\) \(3 = \dots 81\) \(4 = \dots \! \dots 81\)




Possiamo osservare che nel caso delle operazioni commutative, le due operazioni inverse coincidono. Riassumiamo ora le cinque operazioni e le loro inverse facendo riferimento all’esempio 1.3.

Addizione:

ha un’unica operazione inversa: la sottrazione (vedi punti 1 e 2).

Sottrazione:

ha due operazioni inverse: l’addizione, per calcolare il minuendo e la sottrazione per calcolare il sottraendo (punti 3 e 4).
\(min-sott = diff \ssLRarrow min = diff+sott \ssLRarrow sott = min-diff\).

Moltiplicazione:

ha un’unica operazione inversa: la divisione (vedi punti 5 e 6).

Divisione:

ha due operazioni inverse: la moltiplicazione per calcolare il dividendo e la divisione per calcolare il divisore (vedi punti 7 e 8);
\(divid : divis = quoz ~\sLRarrow ~ divid = quoz \cdot divis ~\sLRarrow ~ divis = divd : quoz\).

Potenza:

ha due operazioni inverse: la radice per calcolare la base e il logaritmo per calcolare l’esponente (vedi punti 9 e 10).
\(base^{esp} = pot \ssLRarrow base = \sqrt [esp]{pot} \ssLRarrow esp = \log _{base}{pot}\).

1.6.10 Tabella dei nomi e simboli

Operazione 1° operando 2° operando risultato simboli





addizione addendo addendo somma \(+\)
sottrazione minuendo sottraendo differenza \(-\)
moltiplicazione fattore fattore prodotto \(\cdot ~;~\times ;~*\)
divisione dividendo divisore quoziente \(:~;~\div ;~/~; \frac {x}{y}\)
potenza base esponente potenza \(x^y;~\textasciicircum ~;~\uparrow ~;~**\)
radice radicando indice radice \(\sqrt [y]{x}\)
logaritmo base argomento logaritmo \(\log _{x}{y}\)





3In onore del grande e sfortunato matematico norvegese Niels Henrik Abel
(vedi: https://it.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel).

4Si può anche pensare la divisione in \(\N \) come una sottrazione ripetuta finché si può: si prende 12 e si sottrae 4, poi ancora 4 ecc, finché si riesce a sottrarre; infine si contano le sottrazioni eseguite.

aDa notare la differenza con la proprietà invariantiva della sottrazione!