I numeri naturali sono alla base dell’aritmetica, tutti gli altri numeri si possono costruire a partire da questi. Tutti noi abbiamo una idea di cosa siano i numeri naturali e, in generale, in questo testo ci riferiremo a questa idea ingenua di numeri naturali.
Ci sono diversi modi per definirli a partire da concetti più primitivi come, ad esempio, gli insiemi o da assiomi. Di seguito sono presentati gli assiomi di Peano2 che permettono di definire i numeri naturali a partire da due concetti primitivi e da 5 assiomi, cioè affermazioni su cui siamo d’accordo.
I concetti primitivi per definire i numeri naturali sono:
lo zero;
il successore di un numero.
Lo zero è il numero che serve per contare gli elementi di un gruppo con il minore numero di oggetti possibile: un gruppo vuoto.
Il successore di un numero naturale \(n\) è quel numero che viene subito dopo \(n\) e che rappresenta il numero di oggetti di un gruppo quando se ne aggiunge uno.
Le seguenti affermazioni possono quindi individuare i numeri naturali:
In pratica i numeri naturali sono la sequenza:
zero, uno, due, tre, …, centoventitre, centoventiquattro, …
Un modo comodo per esprimere qualunque numero naturale è usare dei segni appositi, le cifre, e un sistema per rappresentarli:
0, 1, 2, 3, …, 123, 124, …