1.7 Espressioni numeriche
Spesso in matematica abbiamo a che fare con più operazioni combinate assieme. In
questo caso parliamo di espressioni.
Un’espressione aritmetica è un modo per rappresentare una
successione di operazioni.
Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue, per esempio: «La
vecchia porta la sbarra». Anche nella matematica, quando abbiamo più
operazioni da eseguire, dobbiamo chiarire l’ordine con cui si devono eseguire le
operazioni.
Per esempio, l’espressione \(7+5\times 2\)
può valere 24 oppure 17: se eseguiamo
le operazioni da sinistra verso destra
otteniamo un risultato, se eseguiamo
prima la moltiplicazione ne otteniamo
un altro. La regola più semplice
sarebbe "eseguire da sinistra a destra",
ma i matematici hanno scoperto che
risulta più comodo eseguire prima le
moltiplicazioni e dopo le addizioni.
Associatività a
sinistra:
Testo alternativo
figura: grafo con
associatività a
sinistra, ossia se
devo svolgere 7
più 5 per 2, prima
calcolo la somma di
7 più 5 che fa 12 e
poi quest’ultimo
lo moltiplico per
2, ottenendo
come risultato 24.
Precedenza algebrica:
Testo alternativo
figura: grafo con
precedenza algebrica,
ossia se devo
svolgere 7 più 5
per due, calcolo il
prodotto di 5 per 2
ottenendo 10 e poi
calcolo la somma
di quest’ultimo
e 7, ottenendo
come risultato 17.
La precedenza algebrica prevede che:
-
1.
- in una espressione senza parentesi si svolgono prima le potenze, poi
moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni;
-
2.
- le operazioni con la stessa precedenza si svolgono da sinistra verso destra;
-
3.
- se ci sono parentesi, si svolgono prima le espressioni nelle parentesi più
interne.
Alcune calcolatrici, quelle “aritmetiche”svolgono le operazioni man
mano che sono inserite, si dice che applicano l’associatività a sinistra.
Altre, le calcolatrici “scientifiche” seguono le regole dell’algebra. Esegui
la seguente sequenza di operazioni sulla tua calcolatrice (le barre
verticali separano i diversi tasti da premere): \[|~7~|+|~5~|\times |~2~|=|\] Osserva il risultato
e confrontalo poi con quello ottenuto dai tuoi compagni. Diverse
calcolatrici possono fornire risultati diversi (mai fidarsi delle macchine).
1.7.1 Soluzione con grafo ad albero
Testo alternativo: si precisa che questo metodo non è adatto per studenti non
vedenti.
I grafi sono disegni formati da punti collegati tra loro da linee. I grafi ad
albero sono dei particolari grafi.
Definizione 1.9 (Grafo ad albero):
Un grafo ad albero è un disegno formato da punti detti nodi collegati
tra loro da linee dette rami dove c’è un solo modo per andare da un
nodo ad un altro senza ripassare su un ramo.
In un grafo ad albero si può scegliere
un nodo come nodo iniziale, questo
nodo si chiama
radice la radice è un
nodo da cui partono dei rami, a cui non
arriva alcun ramo. I nodi da cui non
parte alcun ramo si chiamano
foglie.
Nell’esempio a fianco, il nodo n0 è la
radice, i nodi n2, n3, n5, n6 e n7 sono
le foglie, n1 e n4 sono nodi intermedi
o semplicemente nodi.
Testo alternativo figura: grafo ad albero
con nodi collegati tra loro da rami,
in particolare dal basso all’alto, n0 è
collegato a n1 e n2; n1 è collegato a n3 e
n4; n4 infine è collegato ai nodi n5, n6 e
n7.
Useremo grafi ad albero per risolvere le espressioni: gli operandi sono le foglie
dell’albero, il risultato è la radice. Il movimento, in questo caso, va dalle foglie alla
radice (come la linfa discendente.
Per risolvere un’espressione usando un grafo:
-
1.
- in ogni nodo viene riportata l’operazione eseguita e il risultato;
-
2.
- costruiamo l’albero disegnando ogni nodo esattamente sotto
l’operazione corrispondente;
-
3.
- disegniamo le parentesi attorno al nodo che contiene il risultato
di tutta un’espressione racchiusa tra parentesi.
\(49 - [2^4 \times (14 : 7) + 10]=\)
Prima realizziamo il grafo ad
albero vuoto, ponendo attenzione
alla precedenza delle operazioni.
Testo alternativo figura: grafo ad albero, vuoto
per la soluzione di un’espressione. Si
precisa che questo metodo non è
adatto per studenti non vedenti.
Poi eseguiamo le operazioni e
scriviamo i risultati negli appositi
spazi.
Testo alternativo figura: riempimento del grafo
ad albero. Si precisa che questo metodo
non è adatto per studenti non vedenti.
\(8^9 \cdot 8^5 : (8^3)^4 : [4^{12} : (4^2)^5] + 27^2 : 9^2 =\)
Se per risolvere un’espressione dobbiamo utilizzare le proprietà
delle potenze, al posto del simbolo di operazione scriveremo le
sigle “p1”, “p2”, …
Testo alternativo figura: soluzione di un’espressione con le proprietà delle
potenze con un grafo ad albero. Si precisa che questo metodo non è adatto
per studenti non vedenti.
1.7.2 Metodo sequenziale
In alcuni casi può non essere comodo, o praticabile, l’uso di un grafo ad albero per
risolvere espressioni. Vediamo allora il metodo sequenziale che prevede di copiare
tutta o in parte l’espressione rendendola via via più semplice. Possiamo applicare le
seguenti indicazioni:
Per risolvere un’espressione in modo sequenziale:
-
1.
- scorriamo tutta l’espressione da sinistra a destra e sottolineiamo
tutte le operazioni che si possono eseguire;
-
2.
- riscriviamo l’espressione sostituendo, alle operazioni sottolineate,
i loro risultati.
Partiamo da una nuova espressione:
\(2 + 6 \cdot 2 : \left [ \left (4 -2 \right ) \cdot 3^{2} - 3 \cdot 5 \right ] + \left ( 5^{2} + 2^{3} \right ) : 3 =\)
Scorrendo l’espressione vediamo che l’operazione \(2 + 6\) è seguita da una moltiplicazione;
poiché la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione, non possiamo
eseguire \(2 + 6\). La prossima espressione che incontriamo è \(6 \cdot 2\) dato che è seguita da una
divisione possiamo eseguirla e quindi la sottolineiamo. Procediamo così
sottolineando tutte le operazioni che possiamo eseguire rispettando le precedenze
algebriche:
Testo alternativo: sottolineo o comunque metto in evidenza le operazioni \(6 \cdot 2\), \(4 - 2\), \(3^2\), \(3 \cdot 5\), \(5^2\) e \(2^3\).
Sottolineo: \(2 + \underline {6 \cdot 2} : \left [ \underline {\left (4 -2 \right )} \cdot \underline {3^{2}} - \underline {3 \cdot 5} \right ] + \left ( \underline {5^{2}} + \underline {2^{3}} \right ) : 3 =\)
Ricopiamo l’espressione sostituendo al posto delle operazioni sottolineate il loro
risultato:
Eseguo: \(= 2 + 12 : \left [ 2 \cdot 9 - 15 \right ] + \left ( 25 + 8 \right ) : 3 =\)
Otteniamo così un’espressione a cui applicare nuovamente i due passi precedenti
fino ad averla ridotta a un numero. \begin {align*} \text {Sottolineo: } \qquad &= 2 + 12 : \left [ \underline {2 \cdot 9} - 15 \right ] + \underline {\left ( 25 + 8 \right )} : 3 = \hspace {20mm}\\ \text {Eseguo: } \qquad &= 2 + 12 : \left [ 18 - 15 \right ] + 33 : 3 =\\ \text {Sottolineo: } \qquad &= 2 + 12 : \underline {\left [ 18 - 15 \right ]} + \underline {33 : 3} = \\ \text {Eseguo: } \qquad &= 2 + 12 : 3 + 11 = \\ \text {Sottolineo: } \qquad &= 2 + \underline {12 : 3} + 11 = \\ \text {Eseguo: } \qquad &= 2 + 4 + 11 = \\ \text {Sottolineo: } \qquad &= \underline {2 + 4} + 11 = \\ \text {Eseguo: } \qquad &= 6 + 11 = 17 \end {align*}
Testo alternativo: sottolineo o comunque metto in evidenza le operazioni \(2 \cdot 9\), \(25 + 8\) e poi le
eseguo all’interno dell’espressione; successivamente sottolineo o comunque metto
in evidenza le operazioni \(18 - 15\) e \(33 : 3\) e poi le eseguo all’interno dell’espressione;
successivamente sottolineo o comunque metto in evidenza l’operazione \(12 : 3\) e poi la
eseguo all’interno dell’espressione; successivamente sottolineo o comunque
metto in evidenza l’operazione \(2 + 4\) e poi la eseguo all’interno dell’espressione.
Nell’ultimo passaggio, essendo rimasta una sola operazione, è inutile sottolinearla.
Avremmo anche potuto risolvere con un passaggio in meno calcolando assieme le due
addizioni:
\(= 2 + 4 + 11 = 17\)
Possiamo confrontare i due metodi applicati alla stessa espressione:
Con il grafo ad albero:
Testo alternativo figura: soluzione di
un’espressione con un albero. Si
precisa che questo metodo non è
adatto per studenti non vedenti.
Con il metodo sequenziale:
\(\phantom {= } \underline {3^3} - \tonda {\underline {5^2} \cdot 2 - \underline {10^2 : 2^2}} =\)
\(= 27 - \tonda {\underline {25 \cdot 2} - \underline {5^2}} =\)
\(= 27 - \tonda {\underline {50 - 25}} =\)
\(= \underline {27 - 25} =\)
\(= 2\)
Testo alternativo: sottolineo o comunque metto in evidenza le operazioni \(3^3\), \(5^2\), \(10^2 : 2^2\) e poi le
eseguo all’interno dell’espressione; successivamente sottolineo o comunque metto in
evidenza le operazioni \(25 \cdot 2\) e \(5^2\) e poi le eseguo all’interno dell’espressione; successivamente
sottolineo o comunque metto in evidenza l’operazione \(50 - 25\) e poi la eseguo all’interno
dell’espressione; infine sottolineo o comunque metto in evidenza l’operazione \(27 - 25\) e
poi la eseguo all’interno dell’espressione ottenendo come risultato finale 2
(naturalmente si otterrà lo stesso risultato con il metodo del grafo ad albero).