Possiamo vedere le operazioni matematiche come dei meccanismi, delle regole, che associano ad alcuni oggetti matematici, detti operandi, un altro oggetto matematico, che è unico, il risultato.
Di seguito riprendiamo rapidamente le prime cinque operazioni aritmetiche nei numeri naturali.
Prima di affrontare le operazioni introduciamo uno dei concetti più importanti nella matematica moderna: il concetto di funzione.
Esempi 1.1:
Partiamo da alcuni esempi.
Una moka è un meccanismo che riceve in ingresso acqua, polvere di caffè, calore e produce una bevanda scura e molto calda.
Una stampante è uno strumento che riceve fogli, inchiostro e informazioni, e produce fogli scritti.
La media di più numeri è un meccanismo che riceve una lista di numeri e produce un numero.
Definizione 1.1:
Chiamiamo funzione un qualunque procedimento che, a partire da alcuni oggetti che sono gli argomenti, ne produce al massimo uno che è il risultato della funzione.
Anche le operazioni aritmetiche possono essere viste come particolari funzioni. Sono delle funzioni binarie perché ricevono due argomenti (due numeri) e producono al massimo un risultato (un numero).
Data l’importanza delle funzioni e il loro uso in molti contesti diversi, vengono anche usati molti modi diversi per rappresentarle. Di seguito ne vediamo alcuni, relativi al caso dell’addizione. \[risultato = funzione \coppia {parametro_1}{parametro_2}\] \[somma: \coppia {addendo_1}{addendo_2} \mapsto addendo_1 + addendo_2\]
Possono essere usate anche delle rappresentazioni grafiche:
Funzione rappresentata con grafi
Rappresentazioni dell’espressione:
\(7 + 5 = 12\)
Una funzione può anche essere definita in un linguaggio di programmazione (nel
caso seguente usiamo Python):
_________________________________________________________________1
def add(parametro_1, parametro_2): _________________________________________________________________ 2
return parametro_1 + parametro_2 Interpretazione di queste due righe di programma:
“add”
è il nome della funzione;
“parametro_1” e “parametro_2”
sono i parametri della funzione;
il risultato dell’espressione che segue “return”
è il risultato della funzione;
“def” e “return”
sono delle parole riservate del linguaggio Python.
Il risultato della funzione può essere visualizzato con la seguente istruzione:
_________________________________________________________________1
print(add(5, 7))
“print”
è un comando per visualizzare qualcosa sullo schermo, in questo caso visualizza il risultato della funzione “add”;
“5” e “7”
sono gli argomenti della funzione “add”.
La funzione “add” ha due parametri (“parametro_1” e “parametro_2”) e, per eseguirla, dobbiamo passarle due argomenti (“5” e “7”).
Osservazioni 1.1:
Queste prime funzioni che studiamo sono funzioni binarie: richiedono come argomenti due numeri e danno come risultato un numero.
Nell’ambito informatico gli argomenti sono anche detti “input” e il risultato è detto “output” della funzione.
Prima ancora di affrontare le operazioni aritmetiche con i numeri naturali, vediamo le proprietà delle operazioni in generale. In generale vuol dire che ora non stiamo a precisare né di quale insieme numerico parliamo, né di quale operazione. Quindi useremo delle lettere per indicare operandi e risultato mentre, per l’operazione, useremo un simbolo diverso da quelli delle quattro operazioni. Un’operazione che indicheremo con il simbolo \(\star \):
Vediamo ora alcune operazioni con i numeri naturali, le loro proprietà e le strutture algebriche sui naturali.
L’addizione è collegata all’operazione concreta di aggiungere gli elementi di un gruppo di oggetti agli elementi di un altro gruppo per poi considerarli riuniti in un unico gruppo.
Definizione 1.2 (Addizione):
Dati due numeri naturali \(n\) e \(m\), l’addizione associa quel numero \(s\), che si ottiene partendo da \(n\) e procedendo verso i successori \(m\) volte. Si scrive \(n+m=s\).
Gli operandi dell’addizione si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.
Ad esempio: sommare 5 a 3 significa partire da 3 e spostarsi verso il successore per 5 volte.
L’addizione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Per come è definita, e dato che il successore di un numero naturale è un numero naturale, la somma di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che l’addizione nei numeri naturali presenta le seguenti proprietà:
è una legge di composizione interna;
Associativa: \((a + b) + c = a + (b + c)\);
Elemento neutro è 0: \(a + 0 = 0 + a = a\);
Commutativa: \(a + b = b + a\).
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\coppia {\N }{+}\) viene chiamata monoide commutativo (o abeliano3)
La sottrazione è collegata all’operazione concreta di togliere degli oggetti da un gruppo di oggetti.
Definizione 1.3 (Sottrazione):
Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), la sottrazione associa quel numero naturale \(d\), se esiste, che aggiunto al secondo (\(n\)) dà come somma il primo (\(m\)).
Si scrive \(m - n = d\).
Il primo operando si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza.
Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
Se consideriamo solo numeri naturali non è sempre possibile trovare la differenza tra due numeri. Ad esempio, la differenza tra 5 e 7 non è un numero naturale, infatti se partendo dal 5 andiamo indietro di 7 posizioni usciamo dalla semiretta dei numeri naturali.
Questo corrisponde al fatto che se ho solo 5 oggetti non ne posso togliere 7!
Si può osservare allora che in \(\N \) la sottrazione \(a - b\) è possibile solo se \(a \geqslant b\).
Nei naturali la sottrazione è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale solo se il minuendo non è minore del sottraendo:
Osservazioni 1.2:
l’ordine degli argomenti è importante: \(sub \coppia {7}{5} \neq sub \coppia {5}{7}\);
è definita solo quando il numero da togliere è minore o uguale al numero da diminuire.
La sottrazione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali, dato che alcune sottrazioni non danno come risultato un numero naturale.
Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti \(a - 0 = a\), ma in generale non si può fare \(0 - a\).
Una proprietà interessante della sottrazione, e molto utile nei calcoli, è:
Teorema 1.1 (Proprietà invariantiva della sottrazione):
La moltiplicazione è legata all’azione di contare oggetti disposti in uno schieramento rettangolare.
Definizione 1.4 (Moltiplicazione):
Dati due numeri naturali \(m\), \(n\), l’operazione di moltiplicazione associa il numero \(p\) che si ottiene aggiungendo a 0 \(n\) addendi uguali a \(m\):
\(m \times n = 0 \underbrace {+ m + m + \dots + m}_{\text {n volte}} = p\)
Gli operandi della moltiplicazione si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto.
Ad esempio: moltiplicare 3 per 4 volte significa partire da 0 e aggiungere 3 per 4 volte.
\(3 \cdot 4 = 0 \underbrace {+ 3 + 3 + 3 + 3}_{\text {4 volte}} = 12\)
La moltiplicazione tra numeri naturali è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Dato che per eseguire una moltiplicazione ripeto delle addizioni, anche il prodotto di due numeri naturali qualsiasi è sempre un numero naturale. Si dice che la moltiplicazione è una legge di composizione interna ai naturali e presenta le seguenti proprietà:
Associativa: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Elemento neutro \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)
Elemento assorbente \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)
Commutativa: \(a \cdot b = b \cdot a\)
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\coppia {\N }{\times }\) viene chiamata monoide commutativo (o abeliano).
Un’altra importante proprietà che utilizzeremo spesso anche in seguito è:
Postulato 1.2 (Principio di annullamento del prodotto):
Questa legge dice che se il risultato di una moltiplicazione è zero di sicuro almeno uno dei fattori deve essere zero. Attenzione: questa proprietà non vale per tutti gli insiemi numerici in cui è definita la moltiplicazione.
La divisione è collegata all’operazione concreta di dividere una certa quantità di oggetti in gruppi con lo stesso numero di oggetti.
Definizione 1.5:
Dati due numeri naturali \(m\) e \(n\), con \(n \neq 0\), la divisione associa quel numero naturale \(q\), se esiste, che moltiplicato per \(n\) dà come prodotto \(m\).
Si scrive \(m : n = q\).
Il primo operando si chiama dividendo e il secondo divisore, il risultato si dice quoziente esatto.
Ad esempio: dividere 12 per 4 significa trovare quante volte il numero 4 è contenuto nel numero 12.4
\(12 : 4 = 3\) perché \(3 \cdot 4 = 12\)
Non sempre si può effettuare la divisione nei numeri naturali ad esempio: \(10 : 4\) non è un numero naturale. Se esiste il quoziente esatto tra i numeri \(m\) e \(n\), si dice che:
\(n\) è divisore di \(m\);
\(m\) è divisibile per \(n\);
\(m\) è multiplo di \(n\)
Esempio 1.2:
Alcuni esempi:
Osservazioni 1.3 (Divisione per 0):
La divisione per zero non è definita.
nella divisione \(n:0\) con \(n\neq 0\), non c’è nessun numero che moltiplicato per 0 ci possa dare un dividendo diverso da zero; questa divisione sarebbe impossibile.
nella divisione \(0:0\) un qualsiasi numero è adatto come quoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto; questa divisione sarebbe indeterminata.
La divisione è una funzione che ha come argomento una coppia ordinata di numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Osservazioni 1.4:
l’ordine degli argomenti è importante: \(div \coppia {12}{4} \neq div \coppia {4}{12}\);
è definita solo quando il numero da dividere è un multiplo del numero che divide.
Dato che non dà sempre un risultato, la divisione non è una legge di composizione interna ai numeri naturali.
Non è commutativa né associativa e non ha neppure un elemento neutro. Possiamo dire che ha solo l’elemento neutro a destra infatti \(a : 1 = a\), ma in generale non si può fare \(1 : a\).
L’unica proprietà interessante della divisione è la proprietà
Invariantiva: \(a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) = (a : c) : (b : c) \text { se } c \neq 0\)
Definizione 1.6 (Proprietà invariantiva della divisione):
Oltre alle proprietà valide per le singole operazioni, ce n’è una che riguarda due operazioni contemporaneamente, è la proprietà distributiva.
Rispetto all’addizione Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.
\((a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)
\((3+5) \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32; \quad (3+5) \cdot 4 = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32\)
Rispetto alla sottrazione In maniera analoga:
\((a-b)\cdot c = a\cdot c - b\cdot c\)
\((9 - 4) \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10; \quad (9 - 4) \cdot 2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 18 - 8 = 10\)
Avendo queste proprietà, la struttura algebrica \(\terna {\N }{+}{\times }\) viene chiamata semianello commutativo (o abeliano).
Rispetto all’addizione Solo se le somme sono a sinistra:
Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra: \(120 : (3 + 5)\). Infatti eseguendo prima l’operazione tra parentesi si ottiene correttamente \(120 : 8 = 15\). Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene \(120 : 3 + 120 : 5 = 40 + 24 = 64\). Il risultato corretto è solo il primo.
Rispetto alla sottrazione Solo se la sottrazione è a sinistra:
Se, però, la sottrazione è a destra:
\(120 : (5 - 3) = 120 : 2 = 60 ~\neq ~ 120 : 5 - 120 : 3 = 24 - 40\)
Osservazione 1.5:
Nonostante la grande utilità dei numeri naturali e il fascino dei problemi presenti nei naturali che non sono ancora risolti, una struttura a semianello è piuttosto debole: non permette di risolvere neppure equazioni del tipo \(ax + b = 0\).
La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione che ha tutti i fattori uguali.
Definizione 1.7 (Potenza):
Dati due numeri naturali \(b\) e \(e\), non entrambi nulli, l’operazione di potenza associa un terzo numero \(p\) che si ottiene moltiplicando 1 per \(e\) fattori uguali a \(b\):
\(\text {Se~} b = 0 \stext {e} e = 0 \quad b^e \stext {non è definita \quad altrimenti \quad } b^e = 1 \underbrace {\cdot b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{e~\text { volte}} = p\)
La potenza è una funzione che ha come argomenti due numeri naturali e dà come risultato un numero naturale:
Nei numeri naturali, la potenza è una legge di composizione interna ma non è né associativa, né commutativa. Presenta comunque cinque proprietà importanti perché verranno utilizzate all’interno di altri argomenti che incontreremo in seguito come, ad esempio, nel calcolo letterale e nello studio di funzioni esponenziali e logaritmiche.
1. Il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
2. Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
4. Il prodotto di più potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
5. Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Si può vedere come i casi particolari delle potenze con esponente uguale a 0 e uguale a 1 siano in accordo con le proprietà delle potenze.
Osservazione 1.6:
Alla potenza \(0^0\) non si assegna alcun valore perché applicando la definizione di \(a^0\) si dovrebbe ottenere 1; applicando la definizione \(0^a\) si dovrebbe ottenere 0. Nonostante ciò, in molti linguaggi di programmazione \(0^0\) dà per risultato 1.
L’operazione inversa di una certa operazione è l’operazione che permette di calcolare uno degli operandi conoscendo l’altro operando e il risultato. Poiché le operazioni aritmetiche sono funzioni binarie, dobbiamo considerare 2 operazioni inverse, una per trovare il primo operando e una per trovare il secondo.
Esempio 1.3:
Completa le seguenti uguaglianze.
Operazione | Op. inversa 1 | Op. inversa 2 | |
1. | \(5 + 3 = 8\) | \(5 = 8 ~\dots ~ 3\) | \(3 = 8 ~\dots ~ 5\) |
2. | \(9 - 2 = 7\) | \(9 = 7 ~\dots ~ 2\) | \(2 = 9 ~\dots ~ 7\) |
3. | \(3 \cdot 2 = 6\) | \(3 = 6 ~\dots ~ 2\) | \(2 = 6 ~\dots ~ 3\) |
4. | \(8 : 4 = 2\) | \(8 = 2 ~\dots ~ 4\) | \(4 = 8 ~\dots ~ 2\) |
5. | \(3 ^4 = 81\) | \(3 = \dots 81\) | \(4 = \dots \! \dots 81\) |
Possiamo osservare che nel caso delle operazioni commutative, le due operazioni inverse coincidono. Riassumiamo ora le cinque operazioni e le loro inverse facendo riferimento all’esempio 1.3.
Addizione:
ha un’unica operazione inversa: la sottrazione (vedi punti 1 e 2).
Sottrazione:
ha due operazioni inverse: l’addizione, per calcolare il minuendo e la
sottrazione per calcolare il sottraendo (punti 3 e 4).
\(min-sott = diff \ssLRarrow min = diff+sott \ssLRarrow sott = min-diff\).
Moltiplicazione:
ha un’unica operazione inversa: la divisione (vedi punti 5 e 6).
Divisione:
ha due operazioni inverse: la moltiplicazione per calcolare il dividendo e
la divisione per calcolare il divisore (vedi punti 7 e 8);
\(divid : divis = quoz ~\sLRarrow ~ divid = quoz \cdot divis ~\sLRarrow ~ divis = divd : quoz\).
Potenza:
ha due operazioni inverse: la radice per calcolare la base e il logaritmo
per calcolare l’esponente (vedi punti 9 e 10).
\(base^{esp} = pot \ssLRarrow base = \sqrt [esp]{pot} \ssLRarrow esp = \log _{base}{pot}\).
Operazione | 1° operando | 2° operando | risultato | simboli |
addizione | addendo | addendo | somma | \(+\) |
sottrazione | minuendo | sottraendo | differenza | \(-\) |
moltiplicazione | fattore | fattore | prodotto | \(\cdot ~;~\times ;~*\) |
divisione | dividendo | divisore | quoziente | \(:~;~\div ;~/~; \frac {x}{y}\) |
potenza | base | esponente | potenza | \(x^y;~\textasciicircum ~;~\uparrow ~;~**\) |
radice | radicando | indice | radice | \(\sqrt [y]{x}\) |
logaritmo | base | argomento | logaritmo | \(\log _{x}{y}\) |
3In onore del grande e sfortunato matematico norvegese Niels Henrik Abel
(vedi: https://it.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel).
4Si può anche pensare la divisione in \(\N \) come una sottrazione ripetuta finché si può: si prende 12 e si sottrae 4, poi ancora 4 ecc, finché si riesce a sottrarre; infine si contano le sottrazioni eseguite.
aDa notare la differenza con la proprietà invariantiva della sottrazione!