A volte potrà succedere che, nell’espressione, manchi un numero. Conoscendo il risultato possiamo trovare il numero mancante.
Procedura 1.3:
Per trovare l’operando mancante usando il grafo ad albero:
Esempio 1.7:
Nella seguente espressione manca un esponente:
\([4 \cdot 5 + 16 : 2 - (13 - 2^{\dots }) \cdot 2] : 2 = 9\)
Ora poniamo attenzione al nodo vuoto che precede il risultato, il nodo contrassegnato dalla stella. Dobbiamo trovare il numero che diviso per 2 dia come risultato 9. È facile: il numero cercato è 18. Scriviamo allora 18 in questo nodo e poniamo l’attenzione a quello che lo precede.
Lo scriviamo e ci spostiamo sul nodo precedente. Procedendo in questo modo possiamo risalire fino al dato mancante.
Partendo da \(13\) per ottenere \(5\) devo togliere \(8\).
Infine, l’esponente da dare a \(2\) per ottenere \(8\) è \(3\).
Anche le espressioni con buco che vengono risolte usando le proprietà delle potenze possono essere risolte in modo analogo.
Esempio 1.8:
Se c’è un “buco” in una espressione da risolvere con le proprietà delle potenze, si procede allo stesso modo:
\((3^4)^3 \cdot 3^{\dots } : (3^3)^5 -2^3 \cdot 2 \cdot (20 -3 \cdot 5) = 1\)
Costruiamo il grafo risolutivo eseguendo tutte le operazioni possibili. Rimangono vuoti tutti i nodi che collegano la radice all’elemento mancante. Usando un colore diverso, a partire dalla radice, completiamo il grafo. Scriviamo nella radice il risultato dell’espressione, e poniamo attenzione al nodo vuoto che lo precede.
questo numero meno 80 deve dare come risultato 1: il numero cercato è 81;
nel nodo precedente: qui ci va una potenza che deve dare come risultato 81, potrebbe essere \(9^2\) o \(3^4\), ma dato che sopra posso usare le proprietà delle potenze con base 3, conviene usare \(3^4\);
nel nodo precedente: questo esponente meno 15 deve dare come risultato 4, l’esponente qui deve essere 19;
e infine: 12 sommato a questo esponente deve dare come risultato 19: il valore mancante è quindi: 7.
Procedura 1.4:
Per trovare l’operando mancante usando il metodo sequenziale:
Esempio 1.9:
\(\left [ 4 \cdot 5 + 16 : 2 - \left (13 - 2^{\dots } \right ) \cdot 2 \right ] : 2 = 9\)
Sottolineiamo le operazioni che dobbiamo eseguire, sostituiamo le operazioni sottolineate con il loro risultato o con un buco, poi risaliamo riempiendo i buchi:
il numero che
diviso per 2 dà 9 è 18;
il numero che
tolto da 28 dà 18 è 10;
il numero che
moltiplicato per 2 dà 10 è 5;
il numero che
tolto da 13 dà 5 è 8;
l’esponente
da dare a 2 per ottenere 8 è 3.
\(\left [ \underline {20 + 8} - \underline {\left (13 - {\dots } \right )} \cdot 2 \right ] : 2 = 9\)
\(\left [ 28 - \underline {{\dots } \cdot 2} \right ] : 2 = 9\)
\(\underline {\left [ 28 - {\dots } \right ]} : 2 = 9\)
\(\underline {{\dots } : 2} = 9\)
Esempio 1.10:
\(\left (3^4 \right )^3 \cdot 3^{\dots } : \left (3^3 \right )^5 - 2^{3} \cdot 2 \cdot \left ( 20 - 3 \cdot 5 \right ) = 1\)
Qui possiamo applicare le proprietà delle potenze:
\(\underline {3^{12} \cdot 3^{\dots }} : 3^{15} - \underline {2^{4}} \cdot \underline {\left ( 20 - 15 \right )} =\)
\(\underline {3^{\dots } : 3^{15}} - \underline {16 \cdot 5} =\)
\(\underline {3^{\dots }} - 80 =\)
\(\underline {{\dots } - 80} = 1\)