1.7 Espressioni numeriche

Spesso in matematica abbiamo a che fare con più operazioni combinate assieme. In questo caso parliamo di espressioni.

Definizione 1.8:

Un’espressione aritmetica è un modo per rappresentare una successione di operazioni.

Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue, per esempio: «La vecchia porta la sbarra». Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire, dobbiamo chiarire l’ordine con cui si devono eseguire le operazioni.

Per esempio, l’espressione \(7+5\times 2\) può valere 24 oppure 17: se eseguiamo le operazioni da sinistra verso destra otteniamo un risultato, se eseguiamo prima la moltiplicazione ne otteniamo un altro. La regola più semplice sarebbe "eseguire da sinistra a destra", ma i matematici hanno scoperto che risulta più comodo eseguire prima le moltiplicazioni e dopo le addizioni.
Associatività a sinistra:
Precedenza algebrica:

La precedenza algebrica prevede che:

1.
in una espressione senza parentesi si svolgono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni;
2.
le operazioni con la stessa precedenza si svolgono da sinistra verso destra;
3.
se ci sono parentesi, si svolgono prima le espressioni nelle parentesi più interne.

Osservazione 1.7:

Alcune calcolatrici, quelle “aritmetiche”svolgono le operazioni man mano che sono inserite, si dice che applicano l’associatività a sinistra. Altre, le calcolatrici “scientifiche” seguono le regole dell’algebra. Esegui la seguente sequenza di operazioni sulla tua calcolatrice (le barre verticali separano i diversi tasti da premere): \[|~7~|+|~5~|\times |~2~|=|\] Osserva il risultato e confrontalo poi con quello ottenuto dai tuoi compagni. Diverse calcolatrici possono fornire risultati diversi (mai fidarsi delle macchine).

1.7.1 Soluzione con grafo ad albero

I grafi sono disegni formati da punti collegati tra loro da linee. I grafi ad albero sono dei particolari grafi.

Definizione 1.9 (Grafo ad albero):

Un grafo ad albero è un disegno formato da punti detti nodi collegati tra loro da linee dette rami dove c’è un solo modo per andare da un nodo ad un altro senza ripassare su un ramo.

In un grafo ad albero si può scegliere un nodo come nodo iniziale, questo nodo si chiama radice la radice è un nodo da cui partono dei rami, a cui non arriva alcun ramo. I nodi da cui non parte alcun ramo si chiamano foglie.

Nell’esempio a fianco, il nodo n0 è la radice, i nodi n2, n3, n5, n6 e n7 sono le foglie, n1 e n4 sono nodi intermedi o semplicemente nodi.

Useremo grafi ad albero per risolvere le espressioni: gli operandi sono le foglie dell’albero, il risultato è la radice. Il movimento, in questo caso, va dalle foglie alla radice (come la linfa discendente.

Procedura 1.1:

Per risolvere un’espressione usando un grafo:

1.
in ogni nodo viene riportata l’operazione eseguita e il risultato;
2.
costruiamo l’albero disegnando ogni nodo esattamente sotto l’operazione corrispondente;
3.
disegniamo le parentesi attorno al nodo che contiene il risultato di tutta un’espressione racchiusa tra parentesi.

Esempio 1.4:

\(49 - [2^4 \times (14 : 7) + 10]=\)

Prima realizziamo il grafo ad albero vuoto, ponendo attenzione alla precedenza delle operazioni.

Poi eseguiamo le operazioni e scriviamo i risultati negli appositi spazi.

Esempio 1.5:

\(8^9 \cdot 8^5 : (8^3)^4 : [4^{12} : (4^2)^5] + 27^2 : 9^2 =\)

Se per risolvere un’espressione dobbiamo utilizzare le proprietà delle potenze, al posto del simbolo di operazione scriveremo le sigle “p1”, “p2”, 

1.7.2 Metodo sequenziale

In alcuni casi può non essere comodo, o praticabile, l’uso di un grafo ad albero per risolvere espressioni. Vediamo allora il metodo sequenziale che prevede di copiare tutta o in parte l’espressione rendendola via via più semplice. Possiamo applicare le seguenti indicazioni:

Procedura 1.2:

Per risolvere un’espressione in modo sequenziale:

1.
scorriamo tutta l’espressione da sinistra a destra e sottolineiamo tutte le operazioni che si possono eseguire;
2.
riscriviamo l’espressione sostituendo, alle operazioni sottolineate, i loro risultati.

Partiamo da una nuova espressione:

\(2 + 6 \cdot 2 : \left [ \left (4 -2 \right ) \cdot 3^{2} - 3 \cdot 5 \right ] + \left ( 5^{2} + 2^{3} \right ) : 3 =\)

Scorrendo l’espressione vediamo che l’operazione \(2 + 6\) è seguita da una moltiplicazione; poiché la moltiplicazione ha la precedenza sull’addizione, non possiamo eseguire \(2 + 6\). La prossima espressione che incontriamo è \(6 \cdot 2\) dato che è seguita da una divisione possiamo eseguirla e quindi la sottolineiamo. Procediamo così sottolineando tutte le operazioni che possiamo eseguire rispettando le precedenze algebriche:

Sottolineo:       \(2 + \underline {6 \cdot 2} : \left [ \underline {\left (4 -2 \right )} \cdot \underline {3^{2}} - \underline {3 \cdot 5} \right ] + \left ( \underline {5^{2}} + \underline {2^{3}} \right ) : 3 =\)

Ricopiamo l’espressione sostituendo al posto delle operazioni sottolineate il loro risultato:

Eseguo:       \(= 2 + 12 : \left [ 2 \cdot 9 - 15 \right ] + \left ( 25 + 8 \right ) : 3 =\)

Otteniamo così un’espressione a cui applicare nuovamente i due passi precedenti fino ad averla ridotta a un numero. \begin {align*} \text {Sottolineo: } \qquad &= 2 + 12 : \left [ \underline {2 \cdot 9} - 15 \right ] + \underline {\left ( 25 + 8 \right )} : 3 = \hspace {20mm}\\ \text {Eseguo: } \qquad &= 2 + 12 : \left [ 18 - 15 \right ] + 33 : 3 =\\ \text {Sottolineo: } \qquad &= 2 + 12 : \underline {\left [ 18 - 15 \right ]} + \underline {33 : 3} = \\ \text {Eseguo: } \qquad &= 2 + 12 : 3 + 11 = \\ \text {Sottolineo: } \qquad &= 2 + \underline {12 : 3} + 11 = \\ \text {Eseguo: } \qquad &= 2 + 4 + 11 = \\ \text {Sottolineo: } \qquad &= \underline {2 + 4} + 11 = \\ \text {Eseguo: } \qquad &= 6 + 11 = 17 \end {align*}

Nell’ultimo passaggio, essendo rimasta una sola operazione, è inutile sottolinearla. Avremmo anche potuto risolvere con un passaggio in meno calcolando assieme le due addizioni:

\(= 2 + 4 + 11 = 17\)

Esempio 1.6:

Possiamo confrontare i due metodi applicati alla stessa espressione:

Con il grafo ad albero:

Con il metodo sequenziale:

\(\phantom {= } \underline {3^3} - \tonda {\underline {5^2} \cdot 2 - \underline {10^2 : 2^2}} =\)
\(= 27 - \tonda {\underline {25 \cdot 2} - \underline {5^2}} =\)
\(= 27 - \tonda {\underline {50 - 25}} =\)
\(= \underline {27 - 25} =\)
\(= 2\)