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Circonferenza e poligoni inscritti e
circoscritti
Teorema 1
L'asse di un segmento è il luogo dei
punti del piano equidistanti dagli
estremi del equidistanti dagli estremi
di un segmento.
In base alla definizione di luogo
dobbiamo dimostrare che:
a. tutti i punti appartenenti all'asse
sono equidistanti dagli estremi del
segmento;
b. ogni punto del piano equidistante
dagli estremi del segmento appartiene
all'asse.
a. IPOTESI: appartiene all'assedi AB
TESI:DIMOSTRAZIONE
I due triangoli rettangoli AMP e BMP
(Fig. 1) sono congruenti per il primo
criterio
di congruenza (perché?), quindi.
b. IPOTESI: P appartiene all'asse di AB
TESI:DIMOSTRAZIONE
Il triangolo APB è isoscele sulla base
AB per ipotesi (Fig. 2). Tracciamo la
mediana PM. Sappiamo che essa è anche
altezza. Concludiamo che la retta PM è
l'asse di AB, in quanto M è il punto
medio di AB ePM è perpendicolare ad AB,
A-B dunque P appartiene all'asse del
segmento AB.
BISETTRICE DI UN ANGOLO
Anche la bisettrice di un angolo, che
abbiamo definito (unità Dalla congruenza
alla misura del Volume 1) come semiretta
che divide un angolo in due angoli
congruenti, può essere guardata da un
nuovo punto di vista grazie al concetto
di luogo geometrico.
TEOREMA 2
La bisettrice di un angolo è il luogo
dei punti dell'angolo equidistanti dai
lati dell'angolo.
In base alla definizione di luogo
dobbiamo dimostrare che:
a. tutti i punti della bisettrice disono equidistanti da a e da b;
b. ogni punto equidistante da a e da b
appartiene alla bisettrice di.
a. IPOTESI: P appartiene alla bisettrice
di aÔb,TESI:DIMOSTRAZIONE
I triangoli rettangoli POH e POK (Fig.
3) hanno:
-in comune,
-perché la semirettaè
la bisettrice diDunque sono congruenti per il secondo
criterio generalizzato.
In particolare saràb. IPOTESI: P appartiene alla
bisettrice diTESI:DIMOSTRAZIONE
I triangoli rettangoli POH e POK (Fig.
4) hanno ordinatamente congruenti le
ipotenuse e due cateti; infatti:
-è in comune,
-per ipotesi.
Dunque sono congruenti per il criterio
di congruenza dei triangoli rettangoli.
In particolare, quindi P
appartiene alla bisettrice di.