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Disequazioni di secondo grado e
frazionarie
Osserviamo preliminarmente che, nella
risoluzione di una disequazione di
secondo grado (in x), possiamo sempre
riportarci al caso in cui il
coefficiente a diè positivo: in
caso contrario, infatti, possiamo
ottenere una disequazione equivalente in
cuimoltiplicando i due membri
pere cambiando il verso
della disequazione.
Supposto, valgono i seguenti tre
teoremi, che si deducono immediatamente
dalla relativa interpretazione grafica
rappresentata al fianco di essi (una
dimostrazione algebrica è riportata
nella scheda di approfondimento al
termine di questo paragrafo).
Teorema 1
Dato il trinomio, con,
supponiamo che l'equazione
corrispondenteabbia due
soluzioni reali distinte, che chiamiamo, conAllora il trinomio risulta (Fig. 3):
a. positivo negli intervalli esterni
alle soluzioni, cioè per:b. nullo per:c. negativo nell'intervallo interno
alle soluzioni, cioè per:Teorema 2
Dato il trinomio, con,
supponiamo che l'equazione
corrispondenteabbia due
soluzioni reali coincidentiAllora il trinomio risulta (Fig. 4):
a. positivo per ogni, con;
b. nullo perTeorema 3
Dato il trinomi, con,
supponiamo che l'equazione
corrispondentenon abbia soluzioni reali.
Allora il trinomio risulta positivo per
ogni.
Utilizzando i teoremi precedenti è
possibile dedurre le soluzioni di
qualsiasi disequazione di secondo grado,
procedendo secondo il seguente schema
logico.
-primo passo: se il coefficiente diè negativo, cambiamo i segni e il verso
della disequazione;
-secondo passo: calcoliamo il
discriminante e le eventuali radici
dell'equazione associata, in modo da
capire a quale dei tre teoremi sul segno
del trinomio dobbiamo fare riferimento;
-terzo passo: facendo riferimento al
teorema opportuno, deduciamo qual è
l'insieme delle soluzioni della
disequazione.