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Equazioni e sistemi di secondo grado
La formula di scomposizione di un
trinomio di secondo grado
Consideriamo un generico trinomio di
secondo grado,, con, e
cominciamo ad analizzare il caso in cui
l'equazione associata al trinomio,
ossia, ammetta due soluzioni
reali, che indichiamo cone.
Secondo quanto stabilito dal teorema di
Ruffini, sappiamo che il trinomio
è divisibile sia persia per, dunque si scompone
nella forma, dove k è
una costante opportuna. D'altra parte,
poiché i coefficienti dei termini di
secondo grado del trinomio originario e
di quello scomposto devono coincidere,
si deduce che deve essere.
Perciò si deve avere:Pertanto, vale il seguente teorema.
TEOREMA 3
Ogniqualvolta il trinomio,
con, è tale che l'equazione asso‐
ciata,, ammette due
soluzioni realie(cioè quando),
vale la scomposizione:Nel caso particolare in cui,
quindi, la formula diventa:ESEMPI
Scomponiamo i seguenti trinomi:
a.b.a. Risolvendo l'equazione associata,, otteniamo come soluzioni:eLa formula fornisce la seguente
scomposizione:b. Risolvendo l'equazione associata,, otteniamo come soluzioni:eLa formula fornisce la seguente
scomposizione (nota che in questo caso) :Che cosa accade se l'equazione
associata al trinomio non ammette
soluzioni reali,
cioè se? In questo caso il
trinomio non può essere riducibile in: infatti, se lo fosse, nella sua
scomposizione comparirebbe un fattore
del tipo, quindi l'equazione
associata avrebbe almeno una soluzione,.
Di conseguenza:
TEOREMA 4
Il trinomio, con, è
riducibile inse e solo se.
ESEMPIO
Il trinomionon è riducibile
in: infatti, il discriminante
dell'equazioneè.