Una nuova strategia di scomposizione
Combinando le osservazioni iniziali ai
criteri sugli zeri (interi e razionali),
possiamo indicare una nuova strategia
per cercare di scomporre un polinomio.
SINTESI Scomposizione di un polinomiotramite la ricerca dei suoi zeri
1° passo: cerchiamo se il polinomioammette qualche zero intero o
razionale;
2° passo: se troviamo uno
zero, chiamiamolo, effettuiamo la
divisione dipermediante
la regola di Ruffini: diciamoil
quoziente della divisione;
3° passo:
scriviamo la scomposizione del
polinomioed eventualmente procediamo a scomporre
ulteriormente, se dovesse
risultare ancora riducibile.
ESEMPIO Scomposizione mediante il
teorema e la regola di Ruffini
Scomponiamo il polinomio1° passo: Il termine noto del polinomio
è 2 e il coefficiente diè 1,
quindi gli zeri razionali possono essere
soltanto.
Verifichiamo, per tentativi, se qualcuno
di essi è effettivamente uno zero, a
partire dai numeri "più semplici", cioè
daTroviamo che:Abbiamo trovato uno zero, 1: dunque il
polinomio dato è divisibile per.
Non procediamo ulteriormente nella
ricerca degli zeri, perché possiamo già
procedere alla scomposizione, dividendoper.
2° passo: Eseguendo la divisione, in
base alla regola di Ruffini, otteniamo
lo schema seguente:Quindi il quoziente è3° passo: Poiché il quoziente della
divisione diperè il
trinomio, abbiamo la
seguente scomposizione:Il trinomioè un trinomio
di secondo grado, che si può
ulteriormente scomporre cercando due
numeri che hanno somma uguale a 1 e
prodotto uguale a -2.
Si trova così che;
quindi:Questa è una scomposizione diin
fattori irriducibili.
Il tentativo di cercare degli zeri
razionali di un polinomio può,
naturalmente, non portare ad alcun
risultato.
Per esempio, consideriamo il polinomio: gli unici zeri razionali
possono essere, ma si verifica
subito che né uno né l'altro è uno zero.
In casi come questo, non trovando alcuno
zero, non possiamo procedere alla
scomposizione mediante questa
strategia.