La chiave per trovare la scomposizione
è osservare che 1 è uno zero di:Questa osservazione, infatti,
permette di dire
cheè divisibile per(in base
al teorema di Ruffini): per ottenere una
scomposizione di, basta allora
effettuare la divisione dipere scriverecome prodotto
trae il quozientedella
divisione:Ti invitiamo a verificare, eseguendocalcoli con la regola di Ruffini, che
il quoziente della divisione diperè, quindi:Gli zeri razionali di un polinomio
Volendo ripetere un procedimento simile
all'esempio precedente per scomporre un
polinomio qualsiasi, ci si trova davanti
al problema di riuscire a individuare
qualche suo zero.
A tale scopo ci viene in aiuto il
seguente teorema, che ci limitiamo a
enunciare.
TEOREMA 1 Zeri razionali di un polinomio
a coeffcienti interi Gli eventuali zeri
razionali (non nulli) di un polinomio a
coefficienti interi numeri della forma, dove p è un divisore, positivo o
negativo, del termine noto del polinomio
e q è un divisore, positivo o negativo,
del coefficiente del suo termine di
grado massimo.
In particolare, se il coefficiente del
termine di grado massimo del polinomio è
1, allora gli eventuali zeri razionali
(non nulli) del polinomio sono da
ricercare tra i divisori, positivi o
negativi, del termine noto del
polinomio.
ESEMPIO Zeri razionali di un polinomio
Determiniamo gli eventuali zeri
razionali del polinomio.
Poichéha coefficienti interi,
possiamo utilizzare il criterio
precedente.
Determiniamo in primo luogo tutti i
divisori p (positivi e negativi) del
termine noto (che è -1) e tutti i
divisori q (positivi 0 negativi) del
coefficiente di(che è 2).Divisori di -1Divisori di2 Ora costruiamo
tutti i possibili rapporti:Zeri razionali
"potenziali" Questi sono i numeri
candidati a essere zeri razionali del
polinomio; per stabilire se qualcuno di
essi è effettivamente uno zero,
procediamo per sostituzione.
Per esempio:non
è uno zero.
Analogamente si verifica che:Pertanto l'unico zero razionale èPER COMPRENDERE MEGLIO Per il
polinomio, che ha il
coefficiente diuguale a 1, gli
eventuali zeri razionali sono da
ricercare tra i divisori positivi o
negativi di -6, cioè nell'insieme: