UNITÁ 1
DIVISIBILITÁ TRA POLINOMI
1.Introduzione alla divisione nell'insieme
dei polinomi.
Il concetto di divisibilità
tra polinomi
Nell'unità Polinomi abbiamo
esaminato le operazioni
di addizione, sottrazione e
moltiplicazione tra polinomi.
Ci resta ora da analizzare l'operazione
di divisione tra polinomi.
Tutti i risultati che esporremo in
questa Unità valgono, anche se non lo
specificheremo ogni volta, purché si
operi nell'insieme dei polinomi a
coefficienti razionali o nell'insieme
dei polinomi a coefficienti reali.
DEFINIZIONE di DIVISIBILITÁ TRA DUE
POLINOMI
Un polinomio A si dice
divisibile per un polinomio B (non
nullo), se esiste un polinomio Q che,
moltiplicato per B, dà come risultato
A:Il polinomio Q è, in tal caso, il
quoziente della divisione di A per B.
Osserva che la definizione è del tutto
analoga a quella data nell'insieme dei
numeri naturali.
ESEMPIO
Dai prodotti notevoli sappiamo
che vale l'uguaglianza:Ne deduciamo cheè divisibile
per, infatti il binomio,
moltiplicato per, da come
risultato.
In simboliNe deduciamo cheè divisibile
per, infatti il binomio,
moltiplicato per, da come
risultato.
In simboliÈ importante fare alcune osservazioni.
1.La definizione di divisibilità tra due
polinomi A e B implica che, se A è
divisibile per B, allora il grado di A
deve essere maggiore 0 uguale a quello
B; dunque per esempionon può
essere divisibile per2.Sebbene la definizione di divisibilità
di due polinomi sia analoga a quella
data nell'insieme dei numeri naturali,
nell'insieme dei polinomi sussiste
un'importante differenza: esistono
coppie di polinomi (per esempio)
tali che ciascuno dei due è divisibile
per l'altro.
Ciò non avviene nell'insieme: due
numeri naturali distinti non possono
essere entrambi tali che ciascuno dei
due è divisore dell'altro.
Un caso particolare: la divisibilità di
un polinomio per un monomio
Nel caso particolare in cui
il divisore sia un
monomio, è facile individuare un
criterio che permette di stabilire se un
polinomio è divisibile per il monomio.